Лекция 2. 2дріс 1блім 3 атты денені айналмалы озалыс динамикасы

Что такое момент инерции?

До того как привести формулировку теоремы Штейнера, следует разобраться с самим понятием момента инерции. Допустим, имеется некоторое тело определенной массы и произвольной формы. Этим телом может быть, как материальная точка, так и любой двумерный и трехмерный объект (стержень, цилиндр, шар и т.д.). Если рассматриваемый объект совершает круговое движение вокруг некоторой оси с постоянным угловым ускорением α, тогда можно записать следующее уравнение:


Здесь величина M представляет суммарный момент сил, который придает ускорение α всей системе. Коэффициент пропорциональности между ними — I, называется моментом инерции. Эта физическая величина рассчитывается по следующей общей формуле:

Здесь r — это дистанция между элементом с массой dm и осью вращения. Это выражение означает, что необходимо найти сумму произведений квадратов расстояний r2 на элементарную массу dm. То есть момент инерции не является чистой характеристикой тела, что его отличает от линейной инерции. Он зависит от распределения массы по всему объекту, который вращается, а также от расстояния до оси и от ориентации тела относительно нее. Например, стержень будет иметь разный I, если его вращать относительно центра масс и относительно конца.

3.1 Күш моменті

күшінің моменті деп қозғалмайтын О нүктесіне қатысты . О

3.2-сурет. Күш моменті

ОZО коорданатбасына байланысты

3.3-сурет. Қозғалмайтын осі бойымен дененің айналуы (3.3) векторының бағыты суретте көрсетілген. Оның модулі мынаған тең: . (3.4) осі бойынша күш моменті (3.3-сур.) векторының осы оське түсірілген проекциясы.

осі бойынша (3.5)3.2 Дененің инерция моментіМатериялық нүктенің инерция моменті Дененің инерция моменті айналу осіне байланысты

Дене Айналу осінің орналасуы Инерция моменті
Қуыс жұқа қабырғалы радиусы R цилиндр Симметрия осі
Радиусы тұтас цилиндр немесе дискі Симметрия осі
Ұзындығы жіңішке стержень Ось стерженнің ортасы арқылы өтеді және оған перпендикуляр.
Радиусы тұтас шар Симметрия осьі

Штейнертеоремасы Штейнер теоремасы

3.4-сурет. Біртекті жіңішке стержень

. Әдебиеттер:Бақылау сұрақтары:

  1. Айналмалы қозғалыс кезіндегі дененің инерция моментінің маңызы қандай және ол неге байланысты?
  2. Қозғалмайтын нүктеге қатысты күш моменті дегеніміз не? Қозғалмайтын оське қатысты күш моменті дегеніміз не? Күш моментінің бағыты қалай анықталады?
  3. Айналмалы және ілгерілмелі қозғалыс динамикасының негізгі теңдеулерін жаз.
  4. Штейнер теоремасын қорытыңыз және жазыңыз.

2-дәріс 2-бөлім4.1 Айналмалы қозғалыстағы дененің жұмысы және кинетикалық энергиясы жанама бойынша болыпжұмысы Айналмалы дененің кинетикалық энергиясы

4.1-сурет. Айналушы дененің жұмыс анықтамасы (4.2) Дененің жазықтық бойынша қозғалысы кезінде, мысалға цилиндрдің ілгерілемелі кинетикалық энергиясы және айналмалы қозғалыс энергиясы қосылады:, (4.3) – айналушы дененің массасы; – дененің массалар центрінің жылдамдығы; –массалық центрі арқылы өтетін оське қатысты дененің инерция моменті, – айналу бұрыштық жылдамдығы.

4.2 Қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасының негізгі теңдеуі ,.айналушы дененің бұрыштық үдеуі денелерге түсірілген күш моменттерінің қосындысына тура пропорционал, ал дененің айналу осіне қатысты инерция моментіне кері пропорционал. 4.3 Импульс моменті және оның сақталу заңы

4.2-сурет. Импульс моментін анықтау Қозғалмайтын О нүктесіне қатысты импульс моменті векторы материялық нүктенің радиус-векторы мен оның импульсінің векторлық көбейтіндісіне тең физикалық шама: . (4.5)Импульс моменті векторы векторлық көбейтінді ережесі арқылы анықталып, айналу осі бойында жатады, ал оның модулі мына өрнекпен анықталады: (4.6)

Материялық нүктенің осіне қатысты импульс моменті векторы осьіне қатысты импульс моменті векторы . ось бойыменқатты дененің айналу кезіндегі импульс моменті уақыт бойынша туындысы сол денеге әсер ететін сыртқы күштердің моментіне тең. Айналушы дененің импульс моментінің өзгерісі оған әсер етуші сыртқы күштердің әсерінен болады. : қозғалмайтын оське қатысты дененің импульс моменті тұйық жүйеде тұрақты болып, уақыт бойынша өзгермейді. 4.3 Импульс моментінің сақталу заңын дәлелдеу

Ілгерілемелі қозғалыс Айналмалы қозғалыс
Масса Инерция моменті
Күш Күш моменті ;;
Импульс Импульс моменті ;
Динамиканың негізгі теңдігі Динамиканың негізгі теңдіктері
Жұмыс Жұмыс
Кинетикалық энергия Кинетикалық энергия

Арнайы салыстырмалы теорияның элементтері

  1. Ұзындықтың қысқаруы
  1. Массаның артуы
  1. Уақыттың баяулауы
  1. Жылдамдықтарды қосу ережесі

КККРелятивистік динамика элементтеріӘдебиеттер:Бақылау сұрақтары :

Доказательство теоремы

Формулу теоремы Штейнера можно легко получить самостоятельно. Для этого рассмотрим произвольное тело на плоскости xy. Пусть начало координат проходит через центр масс этого тела. Рассчитаем момент инерции IO которая проходит через начало координат перпендикулярно плоскости xy. Поскольку расстояние до любой точки тела выражается формулой r = √ (x2 + y2), тогда получаем интеграл:


Теперь переместим параллельно ось вдоль оси x на расстояние l, например, в положительном направлении, тогда расчет для новой оси момента инерции будет выглядеть следующим образом:

Раскроем полный квадрат в скобках и разделим подынтегральные суммы, получим:

Первое из этих слагаемых является величиной IO, третье слагаемое, после проведения интегрирования, дает член l2*m, а вот второе слагаемое равно нулю. Обнуление указанного интеграла связано с тем, что он берется от произведения иксов на элементы массы dm, что в среднем дает ноль, так как центр масс находится в начале координат. В итоге, получается формула теоремы Штейнера.

Рассмотренный случай на плоскости можно обобщить на объемное тело.

Существенность условий

Если на плоскости нарисована окружность, но не отмечен её центр, то одной линейкой можно выполнить многие, но не все построения. Например, можно построить касательную к этой окружности, но нельзя построить её центр.

Открытая проблема: описать, какие построения возможны, а какие невозможны, с помощью одной линейки, если на плоскости дана окружность и не дан её центр

Открытая проблема: на плоскости даны две не пересекающиеся окружности. Можно ли одной линейкой построить прямую, соединяющую их центры?

Если на плоскости не нарисована окружность, то спектр построений, которые можно выполнить одной линейкой, ещё более сужается — в частности, одной линейкой нельзя построить 4 точки, лежащие на одной окружности. Однако, одной линейкой можно выполнить некоторые нетривиальные построения, например:

  • если даны 5 точек, лежащие на одной окружности (сама окружность не нарисована), одной линейкой можно построить шестую точку той же окружности;
  • если на прямой даны три точки A{\displaystyle A}, B{\displaystyle B}, C{\displaystyle C}, то можно одной линейкой построить такую точку D{\displaystyle D} той же прямой, что ACBC=ADBD{\displaystyle AC/BC=AD/BD}.

Открытая проблема: описать, какие построения с помощью одной линейки возможны.

Вывод

Будем рассматривать абсолютно твёрдое тело, образованное совокупностью материальных точек.

По определению момента инерции для JC{\displaystyle J_{C}} и J{\displaystyle J} можно записать

JC=∑i=1nmi(ri)2,{\displaystyle J_{C}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2},}
J=∑i=1nmi(ri′)2,{\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} ‘_{i})^{2},}

где r{\displaystyle \mathbf {r} } — радиус-вектор точки тела в системе координат с началом, расположенным в центре масс, а r′{\displaystyle \mathbf {r} ‘} — радиус-вектор точки в новой системе координат, через начало которой проходит новая ось.

Радиус-вектор r′i{\displaystyle \mathbf {r’} _{i}} можно расписать как сумму двух векторов:

ri′=ri+d,{\displaystyle \mathbf {r} ‘_{i}=\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} ,}

где d{\displaystyle \mathbf {d} } — радиус-вектор расстояния между старой (проходящей через центр масс) и новой осями вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид

J=∑i=1nmi(ri)2+2∑i=1nmirid+∑i=1nmi(d)2.{\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}\mathbf {d} +\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {d} )^{2}.}

Вынося d{\displaystyle \mathbf {d} } за сумму, получим

J=∑i=1nmi(ri)2+2d∑i=1nmiri+d2∑i=1nmi.{\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\mathbf {d} \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}.}

По определению центра масс, для его радиус-вектора rc{\displaystyle \mathbf {r} _{c}} выполняется

rc=∑imiri∑imi.{\displaystyle \mathbf {r} _{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}}.}

Поскольку в системе координат с началом, расположенным в центре масс, радиус-вектор центра масс равен нулю, то равна нулю и сумма ∑i=1nmiri{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}.

Тогда

J=∑i=1nmi(ri)2+d2∑i=1nmi,{\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i},}

откуда и следует искомая формула:

J=JC+md2,{\displaystyle J=J_{C}+md^{2},}

где JC{\displaystyle J_{C}} — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Если тело состоит не из материальных точек, а образовано непрерывно распределённой массой, то во всех приведённых выше формулах суммирование заменяется интегрированием. Ход рассуждения при этом остаётся прежним.

Следствие. Из полученной формулы очевидно, что J>JC{\displaystyle J>J_{C}}. Поэтому можно утверждать: момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, является наименьшим среди всех моментов инерции тела относительно осей, имеющих данное направление.


С этим читают