Октаэдр

Объём тетраэдра

V=16|1x1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z4|=16|x2−x1y2−y1z2−z1x3−x1y3−y1z3−z1x4−x1y4−y1z4−z1|,{\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{vmatrix}},}

или

V=13 SH,{\displaystyle V={\frac {1}{3}}\ SH,}

где S{\displaystyle S} — площадь любой грани, а H{\displaystyle H} — высота, опущенная на эту грань.

Объём тетраэдра через длины рёбер выражается с помощью определителя Кэли-Менгера:


288⋅V2=|11111d122d132d1421d122d232d2421d132d232d3421d142d242d342|.{\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.}
  • Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
  • Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b , как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол ϕ{\displaystyle \phi }, находится по формуле:

V=16abhsin⁡ϕ.{\displaystyle V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi .}

Объём тетраэдра через длины трёх его рёбер a,b и c, выходящих из одной вершины и образующих между собой попарно соответственно плоские углы α,β,γ{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }, находится по формуле

V=16 abcD,{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\ abc{\sqrt {D}},}

где

D=|1cos⁡γcos⁡βcos⁡γ1cos⁡αcos⁡βcos⁡α1|.{\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix}}.}

Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b, выходящих из одной вершины и образующих между собой угол γ{\displaystyle \gamma }:

S=12 abD,{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\ ab{\sqrt {D}},}

где D=|1cos⁡γcos⁡γ1|.{\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.}

Связанные многогранники

Правильный октаэдр можно увеличить до тетраэдра добавлением четырёх тетраэдров на чередующиеся грани. Добавление тетраэдров ко всем восьми граням образует звёздчатый октаэдр.

тетраэдр звёздчатый октаэдр

Октаэдр принадлежит семейству однородных многогранников, связанных с кубом.

Однородные октаэдральные многогранники
Симметрия: , +, (432) , (3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3} t{3,4} {3,4} rr{4,3} tr{4,3} sr{4,3} s{3,4}
Двойственные многогранники
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V35

Он также является одним из простейших примеров , многогранника, образованного определённым пересечением гиперкуба с гиперплоскостью.

Октаэдр входит в последовательность многогранников с символом Шлефли {3,n}, продолжающейся на гиперболическую плоскость.

*n32 симметрии правильных мозаик: 3n or {3,n}
Сферическая Евклидова Компактная гипербол. Пара-компактная Некомпактная гиперболическая
3.3 3<sup>7</sup> 3<sup>8</sup> 3<sup>∞</sup> 312i 39i 36i 33i

Тетратетраэдр

Правильный октаэдр можно рассматривать как полностью усечённый тетраэдр и может быть назван тетратетраэдром. Это можно показать с помощью раскрашенной в два цвета модели. При этом раскрашивании октаэдр имеет тетраэдральную симметрию.

Сравнение последовательности усечения тетраэдра и его двойственной фигуры:

Семейство однородных тетраэдральных многогранников
Симметрия: , (*332) +, (332)
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Двойственные многогранники
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

Вышеприведённые тела можно понимать как срезы, ортогональные к длинной диагонали тессеракта. Если расположить эту диагональ вертикально с высотой 1, то первые пять сечений сверху будут на высотах r, 3/8, 1/2, 5/8 и s, где r — любое число в интервале (0,1/4], а s — любое число в интервале [3/4,1).

Октаэдр в качестве тетратетраэдра существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурацией вершин (3.n)2, проходя от мозаик на сфере к евклидовой плоскости, а затем в гиперболическую плоскость. В симметрии *n32 все эти мозаики являются построениями Витхоффа внутри фундаментальной области симметрии с генерирующими точками на прямом угле области.

*n32 орбифолдные симметрии квазирегулярных мозаик: (3.n)2

Построение

Сферическая Евклидова Гиперболическая
*332 *432 *532 *632 *732 *832… *∞32
Квазирегулярныефигуры
Вершина (3.3)2 (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)<sup>2</sup> (3.8)<sup>2</sup> (3.∞)<sup>2</sup>

Треугольная антипризма

В качестве треугольной антипризмы октаэдр связан с семейством шестиугольной диэдральной симметрии.

Однородные шестиугольные диэдральные сферические многогранники
Симметрия|: , (*622) +, (622) , (2*3)
{6,2} t{6,2} r{6,2} t{2,6} {2,6} rr{2,6} sr{6,2} s{2,6}
Двойственные им многогранники
V62 V122 V62 V26 V4.4.12 V3.3.3.3
Семейство однородных антипризм n.3.3.3
Многогранник
Мозаика
Конфигурация V2.3.3.3 3.3.3.3 4.3.3.3 5.3.3.3 6.3.3.3 7.3.3.3 8.3.3.3 9.3.3.3 10.3.3.3 11.3.3.3 12.3.3.3 …∞.3.3.3

Квадратная бипирамида

Семейство бипирамид
Многогранник
Мозаика
Конфигурация V2.4.4 V3.4.4 V4.4.4 V5.4.4 V6.4.4 V7.4.4 V8.4.4 V9.4.4 V10.4.4 …V∞.4.4

Формулы тетраэдра в декартовых координатах в пространстве

Обозначения:

r1(x1,y1,z1),{\displaystyle \mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),} r2(x2,y2,z2),{\displaystyle \mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),}r3(x3,y3,z3),{\displaystyle \mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),}r4(x4,y4,z4){\displaystyle \mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})}— координаты вершин тетраэдра.

Объём тетраэдра (с учётом знака):

V=16|1x1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z4|{\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}}.

Координаты центра тяжести(пересечение медиан):rT(xT,yT,zT){\displaystyle \mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})}


xT=x1+x2+x3+x44;{\displaystyle x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};}yT=y1+y2+y3+y44;{\displaystyle y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}};}zT=z1+z2+z3+z44.{\displaystyle z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.}

Координаты центра вписанной сферы:rr(xr,yr,zr){\displaystyle \mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})}

xr=S1x1+S2x2+S3x3+S4x4S1+S2+S3+S4;{\displaystyle x_{r}={\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}yr=S1y1+S2y2+S3y3+S4y4S1+S2+S3+S4;{\displaystyle y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}zr=S1z1+S2z2+S3z3+S4z4S1+S2+S3+S4,{\displaystyle z_{r}={\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},}

где S1{\displaystyle S_{1}}-площадь грани противолежащей первой вершине, S2{\displaystyle S_{2}}-площадь грани противолежащей второй вершине и т. д.

Соответственно уравнение вписанной сферы:

(x−S1x1+S2x2+S3x3+S4x4S1+S2+S3+S4)2+(y−S1y1+S2y2+S3y3+S4y4S1+S2+S3+S4)2+(z−S1z1+S2z2+S3z3+S4z4S1+S2+S3+S4)2=(3VS1+S2+S3+S4)2,{\displaystyle (x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}

Уравнение вневписанной сферы противолежащей первой вершине:

(x−−S1x1+S2x2+S3x3+S4x4−S1+S2+S3+S4)2+(y−−S1y1+S2y2+S3y3+S4y4−S1+S2+S3+S4)2+(z−−S1z1+S2z2+S3z3+S4z4−S1+S2+S3+S4)2=(3V−S1+S2+S3+S4)2,{\displaystyle (x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}

Уравнение вневписанной сферы противолежащей первой и второй вершин(количество таких сфер может варьироваться от 0 до 3-х):

(x−−S1x1−S2x2+S3x3+S4x4−S1−S2+S3+S4)2+(y−−S1y1−S2y2+S3y3+S4y4−S1−S2+S3+S4)2+(z−−S1z1−S2z2+S3z3+S4z4−S1−S2+S3+S4)2=(3V−S1−S2+S3+S4)2,{\displaystyle (x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}


Уравнение описанной сферы:

|x2+y2+z2xyz1x12+y12+z12x1y1z11x22+y22+z22x2y2z21x32+y32+z32x3y3z31x42+y42+z42x4y4z41|={\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.}

Архимедовы тела

Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

  • Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник, или платоново тело);
  • для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя), переводящая одну вершину в другую. В частности,

Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, хотя соответствующие работы утеряны.

Все архимедовы тела являются правильногранными многогранниками.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке – вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник – это треугольная пирамида, четырёхугольник – четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды – это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

  1. Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
  2. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

  • В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
  • Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Октаэдры в физическом мире

Октаэдры в природе

Октаэдр флюорита

  • Многие природные кубические кристаллы имеют форму октаэдра. Это алмаз, сульфат алюминия-калия, хлорид натрия, перовскит, оливин, флюорит, шпинель.
  • Форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотноупакованных структурах чистых металлов (никеле, меди, магнии, титане, лантане и многих других) и ионных соединений (хлорид натрия, сфалерит, вюрцит и др.).
  • Пластины сплава в октаэдритных метеоритах расположены параллельно восьми граням октаэдра.

Октаэдры в искусстве и культуре


Две одинаково сложенные змейки Рубика могут аппроксимировать октаэдр.

  • В играх игральная кость в виде октаэдра известна как «d8».
  • Если каждое ребро октаэдра заменить одноомным резистором, общее сопротивление между противоположными вершинами будет составлять 1/2 ома, а между смежными вершинами — 5/12 ома.
  • Шесть музыкальных нот можно расположить на вершинах октаэдра так, что каждое ребро представляет созвучную пару, а каждая грань — созвучную тройку.
  • Противотанковый ёж имеет форму трёх диагоналей октаэдра.

Тетраэдральная связка

Каркас из повторяющихся тетраэдров и октаэдров изобретён Фуллером в 1950-х и он известен как и считается прочнейшей структурой, сопротивляющейся напряжениям консольной балки.

Неправильные октаэдры

Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному октаэдру. Они все имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать рёбер, что соответствует один к одному параметрам правильного октаэдра.

  • Треугольные антипризмы — две грани представляют собой равносторонние треугольники, лежащие в параллельных плоскостях и имеющие общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные.
  • Четырёхугольные бипирамиды, в которых по меньшей мере один экваториальный четырёхугольник лежит в плоскости. Правильный октаэдр является специальным случаем, когда все три четырёхугольника являются плоскими квадратами.
  • Многогранник Шёнхардта, невыпуклый многогранник, который нельзя разбить на тетраэдры без введения новых вершин.

Другие выпуклые восьмигранники

Шестиугольнаяпризма

Усечённыйтетраэдр

Четырёхугольныйтрапецоэдр

В общем случае, октаэдром может называться любой многогранник с восемью гранями. Правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер, минимальное число для октаэдра. Неправильные восьмигранники могут иметь до 12 вершин и 18 рёбер. Существует 257 топологически различных выпуклых восьмигранников, исключая зеркальные копии. В частности, имеется 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 восьмигранников с числом вершин от 6 до 12 соответственно. (Два многогранника «топологически различны», если они имеют внутренне различное расположение граней и вершин, так что нет возможности преобразовать одно тело в другое просто изменением длины рёбер или углов между рёбрами или гранями.)

Некоторые известные неправильные восьмигранники:

  • Шестиугольная призма: Две грани являются параллельными правильными шестиугольниками, шесть квадратов соединяют соответствующие пары сторон шестиугольников.
  • Семиугольная пирамида: Одна грань является семиугольником (обычно правильным), а оставшиеся семь граней являются треугольниками (обычно равнобедренными). Невозможно добиться, чтобы все треугольные грани были равносторонними.
  • Усечённый тетраэдр: Четыре грани тетраэдра усекаются до правильных шестиугольников и образуются три дополнительные равносторонние треугольные грани на месте отсечённых вершин.
  • Четырёхугольный трапецоэдр: Восемь граней конгруэнтны дельтоидам.

Терминология

Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам.

Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые (конгруэнтные) правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти классических правильных многогранников (платоновых тел), данные многогранники не являются выпуклыми телами.

В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера — Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел. К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера — Пуансо.

Полуправильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются правильные или звёздчатые многоугольники, но не обязательно одинаковые. При этом строение всех вершин должно быть одинаковым (условие однородности). Г. Коксетер, М. Лонге-Хиггинс и Дж. Миллер в 1954 году перечислили 53 таких тела и выдвинули гипотезу о полноте своего списка. Только значительно позже в 1969 году Сопову С. П. удалось доказать, что представленный ими список многогранников действительно полон.

Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например, снежинки — это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур.

На данных рисунках каждая грань для красоты и наглядности окрашена собственным цветом.

Однородные многогранники — правильные и полуправильные выпуклые многогранники (платоновы и архимедовы тела); правильные и полуправильные звёздчатые многогранники вместе называются однородными многогранниками. У этих тел все грани являются правильными многоугольниками (выпуклыми или звёздчатыми), а все вершины одинаковы (то есть существуют ортогональные преобразования многогранника в себя, переводящие любую вершину в любую другую). Существует ровно 75 однородных многогранников.

Октаэдры в физическом мире

Октаэдры в природе

Октаэдр флюорита

  • Многие природные кубические кристаллы имеют форму октаэдра. Это алмаз, сульфат алюминия-калия, хлорид натрия, перовскит, оливин, флюорит, шпинель.
  • Форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотноупакованных структурах чистых металлов (никеле, меди, магнии, титане, лантане и многих других) и ионных соединений (хлорид натрия, сфалерит, вюрцит и др.).

Пластины сплава камасита в октаэдритных метеоритах расположены параллельно восьми граням октаэдра.

Октаэдры в искусстве и культуре

Две одинаково сложенные змейки Рубика могут аппроксимировать октаэдр.

  • В играх игральная кость в виде октаэдра известна как «d8».
  • Если каждое ребро октаэдра заменить одноомным резистором, общее сопротивление между противоположными вершинами будет составлять 1/2 ома, а между смежными вершинами — 5/12 ома.
  • Шесть музыкальных нот можно расположить на вершинах октаэдра так, что каждое ребро представляет созвучную пару, а каждая грань — созвучную тройку.

Тетраэдральная связка

Каркас из повторяющихся тетраэдров и октаэдров изобретён Фуллером в 1950-х и он известен как и считается прочнейшей структурой, сопротивляющейся напряжениям консольной балки.

Из бабушкиных рецептов от Елены Иевлевой

— Для профилактики онкозаболеваний и на первых стадиях готовят такой рецепт: 1 часть прополиса и 3 части пчелиного воска положить на дощечку и измельчить в стружку, всё перемешать. Разминать руками следует долго, до однородной массы, и чтобы «тесто» разогрелось. Прополис запоминает информацию, что делают ваши руки, и будет знать, что чистить. Благодаря тому, что прополис размазан по воску, высвобождается каждая его частичка, и когда тает в желудке, работает весь. Из этой массы делаете тоненькие колбаски (как на вареники) — режете их на кусочки и делаете маленькие горошинки. Кладете их в холодильник. Утром натощак принимаете по 3-5 таких горошин, запивая водой. Для профилактики рака и очищения организма достаточно 2 раза в год делать такой одномесячный курс. А у кого геморрой, кладете в прямую кишку свечу, сделанную из 3-4 таких горошин. За 30 мин боль проходит, прекращается кровотечение, трещины заживают. Если болит зуб, для облегчения — 1 горошину расплющите и прилепите на десны. У кого выпирают вены: кожура 1 банана, пол-лимона вместе с коркой и 5-6 каштанов, всё измельчить, сложить в баночку и залить водкой (0,5 л). 12 дней настоять в холодильнике. Смочите в этой настойке салфетку или мягкую тряпочку, и нежными, мягкими, не нажимая, движениями проведите вдоль вен. Сразу же почувствуете, как под руками вены прячутся и кожа становится белой. Если вена выпячивается сильно — пропитайте марлю настойкой и наложите ее на вену. Обертывать бумагой не стоит. Марля быстро высохнет, но успеет оказать свое целебное действие. Бальзам для лица, который я делаю себе сама. Здесь полное творчество. Прислушайтесь, что любит ваше лицо. В основе бальзама лежит настой прополиса, а вот травы каждый выбирает себе сам. Я беру календулу и цветки липы. Дозирую на глаз. Таким бальзамом протираю лицо, на коже образуется пленка, которая натягивается, и я выгляжу лет на 5 моложе. Можно использовать листья малины, подорожника и т.п. …


С этим читают