Октаэдр

Объём тетраэдра

V=16|1x1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z4|=16|x2−x1y2−y1z2−z1x3−x1y3−y1z3−z1x4−x1y4−y1z4−z1|,{\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{vmatrix}},}

или

V=13 SH,{\displaystyle V={\frac {1}{3}}\ SH,}

где S{\displaystyle S} — площадь любой грани, а H{\displaystyle H} — высота, опущенная на эту грань.

Объём тетраэдра через длины рёбер выражается с помощью определителя Кэли-Менгера:

288⋅V2=|11111d122d132d1421d122d232d2421d132d232d3421d142d242d342|.{\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.}

• Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
• Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b , как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол ϕ{\displaystyle \phi }, находится по формуле:

V=16abhsin⁡ϕ.{\displaystyle V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi .}

Объём тетраэдра через длины трёх его рёбер a,b и c, выходящих из одной вершины и образующих между собой попарно соответственно плоские углы α,β,γ{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }, находится по формуле

V=16 abcD,{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\ abc{\sqrt {D}},}

где

D=|1cos⁡γcos⁡βcos⁡γ1cos⁡αcos⁡βcos⁡α1|.{\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix}}.}

Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b, выходящих из одной вершины и образующих между собой угол γ{\displaystyle \gamma }:

S=12 abD,{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\ ab{\sqrt {D}},}

где D=|1cos⁡γcos⁡γ1|.{\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.}

Связанные многогранники

Правильный октаэдр можно увеличить до тетраэдра добавлением четырёх тетраэдров на чередующиеся грани. Добавление тетраэдров ко всем восьми граням образует звёздчатый октаэдр.

Октаэдр принадлежит семейству однородных многогранников, связанных с кубом.

Он также является одним из простейших примеров , многогранника, образованного определённым пересечением гиперкуба с гиперплоскостью.

Октаэдр входит в последовательность многогранников с символом Шлефли {3,n}, продолжающейся на гиперболическую плоскость.

Тетратетраэдр

Правильный октаэдр можно рассматривать как полностью усечённый тетраэдр и может быть назван тетратетраэдром. Это можно показать с помощью раскрашенной в два цвета модели. При этом раскрашивании октаэдр имеет тетраэдральную симметрию.

Сравнение последовательности усечения тетраэдра и его двойственной фигуры:

Вышеприведённые тела можно понимать как срезы, ортогональные к длинной диагонали тессеракта. Если расположить эту диагональ вертикально с высотой 1, то первые пять сечений сверху будут на высотах r, 3/8, 1/2, 5/8 и s, где r — любое число в интервале (0,1/4], а s — любое число в интервале [3/4,1).

Октаэдр в качестве тетратетраэдра существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурацией вершин (3.n)2, проходя от мозаик на сфере к евклидовой плоскости, а затем в гиперболическую плоскость. В симметрии *n32 все эти мозаики являются построениями Витхоффа внутри фундаментальной области симметрии с генерирующими точками на прямом угле области.

Треугольная антипризма

В качестве треугольной антипризмы октаэдр связан с семейством шестиугольной диэдральной симметрии.

Квадратная бипирамида

Формулы тетраэдра в декартовых координатах в пространстве

Обозначения:

r1(x1,y1,z1),{\displaystyle \mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),} r2(x2,y2,z2),{\displaystyle \mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),}r3(x3,y3,z3),{\displaystyle \mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),}r4(x4,y4,z4){\displaystyle \mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})}— координаты вершин тетраэдра.

Объём тетраэдра (с учётом знака):

V=16|1x1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z4|{\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}}.

Координаты центра тяжести(пересечение медиан):rT(xT,yT,zT){\displaystyle \mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})}

xT=x1+x2+x3+x44;{\displaystyle x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};}yT=y1+y2+y3+y44;{\displaystyle y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}};}zT=z1+z2+z3+z44.{\displaystyle z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.}

Координаты центра вписанной сферы:rr(xr,yr,zr){\displaystyle \mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})}

xr=S1x1+S2x2+S3x3+S4x4S1+S2+S3+S4;{\displaystyle x_{r}={\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}yr=S1y1+S2y2+S3y3+S4y4S1+S2+S3+S4;{\displaystyle y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}zr=S1z1+S2z2+S3z3+S4z4S1+S2+S3+S4,{\displaystyle z_{r}={\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},}

где S1{\displaystyle S_{1}}-площадь грани противолежащей первой вершине, S2{\displaystyle S_{2}}-площадь грани противолежащей второй вершине и т. д.

Соответственно уравнение вписанной сферы:

(x−S1x1+S2x2+S3x3+S4x4S1+S2+S3+S4)2+(y−S1y1+S2y2+S3y3+S4y4S1+S2+S3+S4)2+(z−S1z1+S2z2+S3z3+S4z4S1+S2+S3+S4)2=(3VS1+S2+S3+S4)2,{\displaystyle (x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}

Уравнение вневписанной сферы противолежащей первой вершине:

(x−−S1x1+S2x2+S3x3+S4x4−S1+S2+S3+S4)2+(y−−S1y1+S2y2+S3y3+S4y4−S1+S2+S3+S4)2+(z−−S1z1+S2z2+S3z3+S4z4−S1+S2+S3+S4)2=(3V−S1+S2+S3+S4)2,{\displaystyle (x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}

Уравнение вневписанной сферы противолежащей первой и второй вершин(количество таких сфер может варьироваться от 0 до 3-х):

(x−−S1x1−S2x2+S3x3+S4x4−S1−S2+S3+S4)2+(y−−S1y1−S2y2+S3y3+S4y4−S1−S2+S3+S4)2+(z−−S1z1−S2z2+S3z3+S4z4−S1−S2+S3+S4)2=(3V−S1−S2+S3+S4)2,{\displaystyle (x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}

Уравнение описанной сферы:

|x2+y2+z2xyz1x12+y12+z12x1y1z11x22+y22+z22x2y2z21x32+y32+z32x3y3z31x42+y42+z42x4y4z41|={\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.}

Архимедовы тела

Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

• Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник, или платоново тело);
• для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя), переводящая одну вершину в другую. В частности,

Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, хотя соответствующие работы утеряны.

Все архимедовы тела являются правильногранными многогранниками.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке – вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник – это треугольная пирамида, четырёхугольник – четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды – это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

1. Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
2. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

• В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
• Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Октаэдры в физическом мире

Октаэдры в природе

Октаэдр флюорита

• Многие природные кубические кристаллы имеют форму октаэдра. Это алмаз, сульфат алюминия-калия, хлорид натрия, перовскит, оливин, флюорит, шпинель.
• Форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотноупакованных структурах чистых металлов (никеле, меди, магнии, титане, лантане и многих других) и ионных соединений (хлорид натрия, сфалерит, вюрцит и др.).
• Пластины сплава в октаэдритных метеоритах расположены параллельно восьми граням октаэдра.

Октаэдры в искусстве и культуре

Две одинаково сложенные змейки Рубика могут аппроксимировать октаэдр.

• В играх игральная кость в виде октаэдра известна как «d8».
• Если каждое ребро октаэдра заменить одноомным резистором, общее сопротивление между противоположными вершинами будет составлять 1/2 ома, а между смежными вершинами — 5/12 ома.
• Шесть музыкальных нот можно расположить на вершинах октаэдра так, что каждое ребро представляет созвучную пару, а каждая грань — созвучную тройку.
• Противотанковый ёж имеет форму трёх диагоналей октаэдра.

Тетраэдральная связка

Каркас из повторяющихся тетраэдров и октаэдров изобретён Фуллером в 1950-х и он известен как и считается прочнейшей структурой, сопротивляющейся напряжениям консольной балки.

Неправильные октаэдры

Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному октаэдру. Они все имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать рёбер, что соответствует один к одному параметрам правильного октаэдра.

• Треугольные антипризмы — две грани представляют собой равносторонние треугольники, лежащие в параллельных плоскостях и имеющие общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные.
• Четырёхугольные бипирамиды, в которых по меньшей мере один экваториальный четырёхугольник лежит в плоскости. Правильный октаэдр является специальным случаем, когда все три четырёхугольника являются плоскими квадратами.
• Многогранник Шёнхардта, невыпуклый многогранник, который нельзя разбить на тетраэдры без введения новых вершин.

Другие выпуклые восьмигранники

Шестиугольнаяпризма

Усечённыйтетраэдр

Четырёхугольныйтрапецоэдр

В общем случае, октаэдром может называться любой многогранник с восемью гранями. Правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер, минимальное число для октаэдра. Неправильные восьмигранники могут иметь до 12 вершин и 18 рёбер. Существует 257 топологически различных выпуклых восьмигранников, исключая зеркальные копии. В частности, имеется 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 восьмигранников с числом вершин от 6 до 12 соответственно. (Два многогранника «топологически различны», если они имеют внутренне различное расположение граней и вершин, так что нет возможности преобразовать одно тело в другое просто изменением длины рёбер или углов между рёбрами или гранями.)

Некоторые известные неправильные восьмигранники:

• Шестиугольная призма: Две грани являются параллельными правильными шестиугольниками, шесть квадратов соединяют соответствующие пары сторон шестиугольников.
• Семиугольная пирамида: Одна грань является семиугольником (обычно правильным), а оставшиеся семь граней являются треугольниками (обычно равнобедренными). Невозможно добиться, чтобы все треугольные грани были равносторонними.
• Усечённый тетраэдр: Четыре грани тетраэдра усекаются до правильных шестиугольников и образуются три дополнительные равносторонние треугольные грани на месте отсечённых вершин.
• Четырёхугольный трапецоэдр: Восемь граней конгруэнтны дельтоидам.

Терминология

Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам.

Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые (конгруэнтные) правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти классических правильных многогранников (платоновых тел), данные многогранники не являются выпуклыми телами.

В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера — Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел. К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера — Пуансо.

Полуправильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются правильные или звёздчатые многоугольники, но не обязательно одинаковые. При этом строение всех вершин должно быть одинаковым (условие однородности). Г. Коксетер, М. Лонге-Хиггинс и Дж. Миллер в 1954 году перечислили 53 таких тела и выдвинули гипотезу о полноте своего списка. Только значительно позже в 1969 году Сопову С. П. удалось доказать, что представленный ими список многогранников действительно полон.

Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например, снежинки — это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур.

На данных рисунках каждая грань для красоты и наглядности окрашена собственным цветом.

Однородные многогранники — правильные и полуправильные выпуклые многогранники (платоновы и архимедовы тела); правильные и полуправильные звёздчатые многогранники вместе называются однородными многогранниками. У этих тел все грани являются правильными многоугольниками (выпуклыми или звёздчатыми), а все вершины одинаковы (то есть существуют ортогональные преобразования многогранника в себя, переводящие любую вершину в любую другую). Существует ровно 75 однородных многогранников.

Октаэдры в физическом мире

Октаэдры в природе

Октаэдр флюорита

• Многие природные кубические кристаллы имеют форму октаэдра. Это алмаз, сульфат алюминия-калия, хлорид натрия, перовскит, оливин, флюорит, шпинель.
• Форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотноупакованных структурах чистых металлов (никеле, меди, магнии, титане, лантане и многих других) и ионных соединений (хлорид натрия, сфалерит, вюрцит и др.).

Пластины сплава камасита в октаэдритных метеоритах расположены параллельно восьми граням октаэдра.

Октаэдры в искусстве и культуре

Две одинаково сложенные змейки Рубика могут аппроксимировать октаэдр.

• В играх игральная кость в виде октаэдра известна как «d8».
• Если каждое ребро октаэдра заменить одноомным резистором, общее сопротивление между противоположными вершинами будет составлять 1/2 ома, а между смежными вершинами — 5/12 ома.
• Шесть музыкальных нот можно расположить на вершинах октаэдра так, что каждое ребро представляет созвучную пару, а каждая грань — созвучную тройку.

Тетраэдральная связка

Каркас из повторяющихся тетраэдров и октаэдров изобретён Фуллером в 1950-х и он известен как и считается прочнейшей структурой, сопротивляющейся напряжениям консольной балки.

Из бабушкиных рецептов от Елены Иевлевой

— Для профилактики онкозаболеваний и на первых стадиях готовят такой рецепт: 1 часть прополиса и 3 части пчелиного воска положить на дощечку и измельчить в стружку, всё перемешать. Разминать руками следует долго, до однородной массы, и чтобы «тесто» разогрелось. Прополис запоминает информацию, что делают ваши руки, и будет знать, что чистить. Благодаря тому, что прополис размазан по воску, высвобождается каждая его частичка, и когда тает в желудке, работает весь. Из этой массы делаете тоненькие колбаски (как на вареники) — режете их на кусочки и делаете маленькие горошинки. Кладете их в холодильник. Утром натощак принимаете по 3-5 таких горошин, запивая водой. Для профилактики рака и очищения организма достаточно 2 раза в год делать такой одномесячный курс. А у кого геморрой, кладете в прямую кишку свечу, сделанную из 3-4 таких горошин. За 30 мин боль проходит, прекращается кровотечение, трещины заживают. Если болит зуб, для облегчения — 1 горошину расплющите и прилепите на десны. У кого выпирают вены: кожура 1 банана, пол-лимона вместе с коркой и 5-6 каштанов, всё измельчить, сложить в баночку и залить водкой (0,5 л). 12 дней настоять в холодильнике. Смочите в этой настойке салфетку или мягкую тряпочку, и нежными, мягкими, не нажимая, движениями проведите вдоль вен. Сразу же почувствуете, как под руками вены прячутся и кожа становится белой. Если вена выпячивается сильно — пропитайте марлю настойкой и наложите ее на вену. Обертывать бумагой не стоит. Марля быстро высохнет, но успеет оказать свое целебное действие. Бальзам для лица, который я делаю себе сама. Здесь полное творчество. Прислушайтесь, что любит ваше лицо. В основе бальзама лежит настой прополиса, а вот травы каждый выбирает себе сам. Я беру календулу и цветки липы. Дозирую на глаз. Таким бальзамом протираю лицо, на коже образуется пленка, которая натягивается, и я выгляжу лет на 5 моложе. Можно использовать листья малины, подорожника и т.п. …

С этим читают

• Вставка знака “дельта” в microsoft word
• Лекция 2. 2дріс 1блім 3 атты денені айналмалы озалыс динамикасы
• Правда ли, что зимой в воздухе меньше кислорода?
• Сакральная нумерология: значение чисел
• Что означают значки в яндекс дзен под статьей и зачем они нужны
• Пространство-время
• Самые интересные созвездия для детей. созвездие близнецы для детей. интересные факты о созвездии
• Сведения из древнеегипетской мифологии
• Морские приливы и растущая агрессия: как луна влияет на земные процессы
• Все, что вам нужно знать о ретроградном меркурии